BAB
I
PENDAHULUAN
A.
Latar belakang
Pemahaman
akan konsep fungsi kuadrat sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu
matematika. Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom dengan pangkat peubah
tertingginya adalah 2. Secara umum fungsi kuadrat berbentuk:
Dengan
a, b, c suatu bilangan real dan a ≠ 0
Persamaan
diatas memiliki akar sebagai berikut :
Fungsi
kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2 dan
dikatakan mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.
B.
Metodologi
Dalam pembuatan makalah ini kami menggunakan metode
tarjih (pengumpulan data) yaitu dengan mengumpulkan beberapa sumber yang
terkait dengan pembahasan persamaan dan fungsi kuadrat. Setelah sumber
terkumpul kami mengambil beberapa sub pembahasan, ketika ada pembahasan yang
sama dibuku yang lain kami mengambil satu buku saja untuk dibahas.
C.
Rumusan
Masalah
a. Menganalisis learning trajectory Persamaan dan Fungsi Kuadrat ?
b. Menjelaskan konsep dan Prosedur Persamaan dan Fungsi Kuadrat ?
c. Merancang ekspresi pemahaman Persamaan dan Fungsi Kuadrat?
d. Merancang analisis situasi didaktis Persamaan dan Fungsi Kuadrat ?
D.
Tujuan
penulisan
Kami
berharap pembaca dapat mempermudah memahami materi tentang sistem persamaan linear tiga variabel
melalui:
a. Analisis Learning trajectory Persamaan
dan Fungsi Kuadrat
b. Konsep dan prosedur Persamaan
dan Fungsi Kuadrat
c. Ekspresi pemahanan Persamaan dan Fungsi Kuadrat
d.
Analisis situasi didaktis Persamaan
dan Fungsi Kuadrat
BAB
II
PEMBAHASAN
A. Learning
trajectory
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
1.
Tujuan Pembelajaran
Setelah pembelajaran peserta didik dapat :
a. Peserta didik dapat menyelesaikan persamaan kuadrat.
b. Peserta didik dapat mengidentifikasi
jenis-jenis dan sifat-sifat fungsi.
c. Peserta didik dapat menggambar grafik
fungsi kuadrat dengan menggambar titik-titik yang terletak pada kurva.
d. Peserta didik dapat membuat sketsa
grafik fungsi kuadrat dengan menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu
koordinat dan menentukan nilai optimum fungsi .
2. Kegiatan
pembelajaran
a. Guru mengawali pembelajaran dengan
memberikan salam dan mengecek kehadiran dan memimpin doa
b. Peserta didik diarahkan untuk membaca
buku paket atau buku lainnya, yang memuat materi persamaan dan fungsi kuadrat.
c. Peserta didik diberikan
stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai bentuk persamaan kuadrat.
d. Untuk menumbuhkan sikap saling peduli,
guru membagi kelas menjadi beberapa kelompok.
e. Tiap-tiap kelompok diberi lembar kerja,
dala hal ini peserta didik diharapkan memiliki rasa tanggung jawab dan dapat
bekerja sama.
f. Didalam kelompoknya, peserta didik akan
mencoba dan menalar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan.
g. setelah semua kelompok menyelesaikan
persamaan kuadrat kemudian guru mempersilahkan perwakilan kelompoknya untuk
mempresentasikan hasil dari diskusinya
h. guru bersama peserta didik menyimpulkan
hasil dari diskusi tersebut dan guru memberikan penekanan pada materi tersebut.
3. Hipotesis Proses
Pembelajaran
a. Siswa paham tentang
konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, bisa mengerjakan latihan soal dan siswa bisa
mengaplikasikan konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat kedalam
kehidupan sehari-hari.
b. Siswa paham
tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, bisa mengerjakan
latihan soal, dan siswa tidak bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur
persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
c. Siswa paham
tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, tidak bisa
mengerjakan latihan soal, dan siswa tidak bisa mengaplikasikan konsep dan
prosedur persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
d. Siswa paham
tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, tidak bisa
mengerjakan latihan soal, dan siswa bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur
persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
e. Siswa tidak paham
tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, bisa mengerjakan
latihan soal, dan siswa tidak bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur
persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
B.
Konsep dan Prosedur Persamaan dan Fungsi Kuadrat
1.
PERSAMAAN KUADRAT
Definisi: persamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk dimana
Berikut
ciri-ciri persamaan kuadrat :
·
Sebuah persamaan
·
Pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 dan pangkat
terendah adalah 0
·
Koefisien variabelnya adalah bilangan real
·
Koefisien variabel berpangkat 2 tidak boleh sama
dengan nol
·
Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai
0
a. Menentukan akar-akar
persamaan kuadrat
Akar-akar
persamaan kuadrat dapat dicari dengan:
·
Pemfaktoran, yaitu
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran;
Penyelesaian :
= 0
= 0
= 0 atau = 0
= atau
= 5
Jadi, HP = {3, 5}
·
Melengkapkan kuadrat, yaitu
Contoh Soal:
Selesaikan persamaan dengan melengkapkan kuadrat.
Penyelesaian:
tiap ruas
ditambah dengan (b)2
Jadi, atau
·
Rumus abc, yaitu
Contoh soal:
Gunakan rumus untuk menentukan
akar-akar persamaan
Penyelesaian:
Maka,
a = 1
b = – 8
c = 15
Substitusi
nilai a, b, c ke rumus abc
Sehingga,
atau
atau
a. Menurut nilai diskriminannya ( D = b2-
4ac ) , akar-akar persamaan kuadrat dibagi menjadi 3 yaitu :
· Memilik akar nyata apabila D 0
ü Memiliki satu akar nyata apabila D = 0
ü Memilki dua akar nyata apabila D > 0
· Tidak memilki akar nyata apabila D < 0
· Memiliki 2 akar rasional apabila D = k2
b. Apabila x1 dan x2
adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan D > 0,
maka
Sebagai
akibat dari rumus tersebut, diperoleh :
·
Jumlah
akar
·
Hasil
kali akar
·
Selisih
akar
c.
Beberapa
rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar
persamaan kuadrta
·
Jumlah
kuadrat
·
Jumlah
pangkat tiga
·
Selisih
kuadrat
·
Kuadrat
selisih
·
Jumlah
kebalikan
2. FUNGSI KUADRAT
Definisi: Fungsi
kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang pangkat tertingginya adalah dua dimana
koefisien pada variabel tersebut tidak boleh sama dengan 0.
Bentuk
umum: dimana
Nilai
a untuk menentukan arah membukanya
grafik yaitu :
·
a > 0, grafik terbuka ke atas sehingga mempunyai nilai
minimum
·
a < 0, grafik terbukake bawah sehingga mempunyai nilai
maksimum
nilai maksimum /
minimum adalah , sehingga puncaknya atau
titik balik maksimum atau minimum berada pada koordinat .
Ciri – ciri fungsi
kuadrat :
a.
Sebuah fungsi
b.
Memuat sebuah variabel bebas atau peubah bebas
c.
Pangkat tertinggi variabel bebasnya adalah 2 dan pangkat
terendah adalah 0
d.
Koefisien variabel bebas adalah bilangan real
e.
Koefisien variabel bebas pangkat 2 tidak sama dengan 0
f.
Koefisein variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0
Grafik
fungsi kuadrat
Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi
y = f(x) = ax2 + bx + c, a ≠0 adalah parabola, sedangkan y = f(x) =
ax2 + bx + c disebut persamaan parabola.
Untuk melukis grafik fungsi kuadrat : y
= f(x) = ax2 + bx + c
Diperlukan syarat-syarat sebagai berikut
:
1.
Titik potong dengan sumbu x
Syarat f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0
(x –x1) (x - x2 ) (x1, 0 ) (x2, 0 )
2.
Titik potong dengan sumbu y
Syarat f(x) = 0 a(0)2 + b(0) + c = 0
f(x) = c (0,c)
3.
Sumbu simetri
Sumbu simetrinya
adalah : x =
4.
Titik balik/ titik puncak
Nilai ekstrim : y =
Sehingga
koordinat titik puncak adalah P (x,y), jadi P (
Parabola mencapai titik balik minimum
jika a > 0 dan parabola mencapai titik balik maksimum
jika a< 0.
3. Aplikasi Fungsi Kuadrat
Dalam kehidupan sehari-hari persamaan
dan fungsi kuadrat sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
sehari-hari. Fungsi kuadrat biasanya digunakan untuk menentukan nilai maksimum
atau minimum dari suatu permasalahan. Biasanya kata maksimum sama maknanya
dengan kata tertinggi, terpanjang, terbesar, terjauh, terluas dsb. Sedangkan
kata minimum sama maknanya dengan kata terendah, terkecil, terdekat, tersempit
dsb. Berikut ini diberikan contoh-contoh aplikasi yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.
Contoh:
Ada sebuah kawat ram panjang 20 m yang
akan digunakan untuk membuat kandang ayam. Tentukan panjang dan lebar kandang
ayam tersebut agar luasnya maksimum.
Penyelesaian :
Panjang kawat ram = keliling
persegi/persegi panjang
Dimisalkan panjang kawat = x dan lebar =
y
Keliling = 2(p+l)
20 = 2(p+l)
10 = x + y
y
= 10 – x
Luas (L) = p x l
=
x . y
=
x(10-x)
=
10x – x2
Luas
merupakan fungsi kuadrat, agar luas maksimum maka :
x
= = - = 5 meter
y
= 10 – x = 10 – 5 = 5
Jadi
agar kandang ayam memiliki luas maksimum maka panjang dan lebar ayam tersebut
masing- masing yaitu panjan 5 meter dan lebar 5 meter, karena panjang dan
lebarnya sama maka kandang ayam tersebut berbentuk persegi.
C.
Ekspresi pemahaman Persamaan dan Fungsi Kuadrat
1. Contoh soal
tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0) serta melalui (4,-5)
peyelesaian :
y = a(x-p) (x-q)
= a(x-(-1) (x-5)
= a(x+1) (x-5)
Karena melalui (4,-5) maka
-5 = a(4+1) (4-5)
-5 = -5a
a= 1
jadi, fungsi kuadratnya : y =
1(x+1) (x-5)
=
x2 -4x-5
Penjelasan:
Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis),
karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi
kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang
konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis
yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
2. Latihan Soal
1) Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9) serta melalui titik (-1,0)…..
Penjelasana:
Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis),
karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi
kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang
konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis
yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
2) Tentukan titik puncak dari
grafik f(x)= 3x2+5x+4
Penjelasana:
Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis),
karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi
kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang
konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis
yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
3) Tentukan fungsi kuadrat grafiknya
melalui 3 buah titik (-1,0),(2,9), dan (4,5)
Penjelasana:
Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis),
karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi
kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang
konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis
yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
4) Gambarlah grafik fungsi kuadrat
y= x2-4x-5
Penjelasan: dari
soal diatas, termasuk jenis soal kategori C2 (memahami) karena siswa dapat
menyelesaikan sebuah soal tentang cara menggambar grafik fungsi kuadrat dengan
menggambarkan dan menentuan tittik-titik koordinat kartesiusnya.
5) Tentukan himpunan penyelesaian
dari x2 - 4x + 3 = 0
Penjelasana:
Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis),
karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi
kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang
konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis
yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
D.
Analisi Situasi Didaktis
1.
Desain Awal
Untuk kegiatan pertama, guru
memberikan penjelasan mengenai konsep
dan prosedur terkait definisi persamaan dan fungsi kuadrat kepada
siswa terlebih dahulu,
kemudian guru memberikan materi-materi dan pemahaman yang terkait dengan persamaan dan fungsi kuadrat
diantaranya seperti:
rumus-rumus dan sifat-sifat persamaan
dan fungsi kuadrat kemudian menghubungkan dengan
aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, setelah itu guru memberikan contoh
soal-soal kemudian siswa mendiskusikan bersama teman dalam soal-soal latihan
yang diberikan guru.
2.
Prediksi Implementasi
Dari desain awal
kita bisa melihat bagaimana awal dan strategi pembelajaran. Jika kita melihat
kepada hipotesis diatas, kita mendapatkan suatu kasus dimana seorang siswa
memiliki karakter dan sifat yang berbeda-beda, ada yang paham materi dan bisa
mengerjakan latihan soal persamaan dan fungsi kuadrat, dan ada juga yang paham
materi tapi tidak bisa mengerjakan soal latihan, dan ada juga siswa yang tidak
paham materi dan tidak bisa mengerjakan latihan soal persamaan dan fungsi
kuadrat.
Maka dengan
menggunaan desain awal siswa akan lebih mudah memahami materi dan mengerjakan latihan
soal persamaan dan fungsi kuadrat.
3.
Learning Obstacle
Matematika
merupakan ilmu yang membutuhkan proses berfikir. Matematika terbentuk dari
hasil pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran. Oleh
karena itu dalam memahami konsep dibutuhkan konsep yang mendalam dan penalaran
yang tinggi. Proses tersebut tentu saja tidak dilakukan dalam waktu yang
singkat, sehingga dibutukan sebuah persiapan yang matang sebelum menyampaikan
konsep matematika.
Pembelajaran
matematika yang terjadi didalam kelas pada dasarnya merupakan rangkaian
kegiatan yang dilaksanakan oleh guru sebagai pendidik dan siswa sebagai anak
didik dalam kegiatan pengajaran matematika dengan menggunakan sarana dan
fasilitas pendidikan yang ada guna mencapai tujuan yang telah ditetapkan dalam
kurikulum.
Factor yang
menjadi penyebab kesulitan belajar siswa dalam mempelajari persamaan dan fungsi kuadrat adalah karena siswa tidak memahami konsep dan
prosedur persamaan dan
fungsi kuadrat, Kesulitan siswa dalam
menghadapi materi persamaan
dan fungsi kuadrat ini adalah
karena tidak kuatnya pondasi siswa dalam memahami materi persamaan dan fungsi kuadrat. Selain itu,cara siswa dalam proses pembelajaran
matematika khususnya materi persamaan
dan fungsi kuadrat adalah dengan
cara menghafal rumus-rumus persamaan
dan fungsi kuadrat. Maka dapat
disimpulkan beberapa permasalahan dari pokok bahasan persamaan dan fungsi kuadrat adalah siswa tidak memahami konsep, prosedur dan
pemahaman persamaan dan
fungsi kuadrat.
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
1.
PERSAMAAN KUADRAT
Definisi: persamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk dimana
Berikut
ciri-ciri persamaan kuadrat :
·
Sebuah persamaan
·
Pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 dan pangkat
terendah adalah 0
·
Koefisien variabelnya adalah bilangan real
·
Koefisien variabel berpangkat 2 tidak boleh sama
dengan nol
·
Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai
0
2. Fungsi Kuadrat
Definisi: Fungsi
kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang pangkat tertingginya adalah dua dimana
koefisien pada variabel tersebut tidak boleh sama dengan 0.
Bentuk umum: dimana
Nilai a untuk menentukan arah membukanya grafik yaitu
:
·
a > 0, grafik terbuka ke atas sehingga mempunyai nilai
minimum
·
a < 0, grafik terbukake bawah sehingga mempunyai nilai
maksimum
nilai maksimum /
minimum adalah , sehingga puncaknya atau
titik balik maksimum atau minimum berada pada koordinat .
Ciri – ciri fungsi
kuadrat :
g.
Sebuah fungsi
h.
Memuat sebuah variabel bebas atau peubah bebas
i.
Pangkat tertinggi variabel bebasnya adalah 2 dan pangkat
terendah adalah 0
j.
Koefisien variabel bebas adalah bilangan real
k.
Koefisien variabel bebas pangkat 2 tidak sama dengan 0
l.
Koefisein variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0
B. Saran
Untuk memahami konsep dan prosedur
materi persamaan dan fungsi kuadrat, kami menyarankan kepada siswa untuk selalu
memahami contoh soal dan sering berlatih mengerjakan latihan soal dan uga
mengaplikasikan persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
Tampomas, Husein. Seribu Pena
Matematika SMU kelas .Erlangga. Jakarta. 1999
Sukino.Matematika untuk SMA/MA KELAS X.
Erlangga. Jakarta. 2013
Tidak ada komentar:
Posting Komentar