Senin, 05 Maret 2018

Persamaan dan Fungsi kuadrat


BAB I
PENDAHULUAN
A.    Latar belakang
Pemahaman akan konsep fungsi kuadrat sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu matematika. Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom dengan pangkat peubah tertingginya adalah 2. Secara umum fungsi kuadrat berbentuk:
Dengan a, b, c suatu bilangan real dan a ≠ 0
Persamaan diatas memiliki akar sebagai berikut :
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2 dan dikatakan mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.
B.     Metodologi
Dalam pembuatan makalah ini kami menggunakan metode tarjih (pengumpulan data) yaitu dengan mengumpulkan beberapa sumber yang terkait dengan pembahasan persamaan dan fungsi kuadrat. Setelah sumber terkumpul kami mengambil beberapa sub pembahasan, ketika ada pembahasan yang sama dibuku yang lain kami mengambil satu buku saja untuk dibahas.
C.     Rumusan Masalah
a.       Menganalisis learning trajectory Persamaan dan Fungsi Kuadrat ?
b.      Menjelaskan konsep dan Prosedur Persamaan dan Fungsi Kuadrat ?
c.       Merancang ekspresi pemahaman Persamaan dan Fungsi Kuadrat?
d.      Merancang analisis situasi didaktis Persamaan dan Fungsi Kuadrat ?
D.    Tujuan penulisan
Kami berharap pembaca dapat mempermudah memahami materi tentang sistem persamaan linear tiga variabel melalui:
a.       Analisis Learning trajectory Persamaan dan Fungsi Kuadrat
b.      Konsep dan prosedur Persamaan dan Fungsi Kuadrat
c.       Ekspresi pemahanan Persamaan dan Fungsi Kuadrat
d.      Analisis  situasi didaktis Persamaan dan Fungsi Kuadrat







BAB II
PEMBAHASAN
A.    Learning trajectory Persamaan dan Fungsi Kuadrat
1.      Tujuan Pembelajaran
Setelah pembelajaran peserta didik dapat :
a.       Peserta didik  dapat menyelesaikan persamaan kuadrat.
b.      Peserta didik dapat mengidentifikasi jenis-jenis dan sifat-sifat fungsi.
c.       Peserta didik dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menggambar titik-titik yang terletak pada kurva.
d.      Peserta didik dapat membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dengan menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat dan menentukan nilai optimum fungsi .

2.      Kegiatan pembelajaran
a.       Guru mengawali pembelajaran dengan memberikan salam dan mengecek kehadiran dan memimpin doa
b.      Peserta didik diarahkan untuk membaca buku paket atau buku lainnya, yang memuat materi persamaan dan fungsi kuadrat.
c.       Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai bentuk persamaan kuadrat.
d.      Untuk menumbuhkan sikap saling peduli, guru membagi kelas menjadi beberapa kelompok.
e.       Tiap-tiap kelompok diberi lembar kerja, dala hal ini peserta didik diharapkan memiliki rasa tanggung jawab dan dapat bekerja sama.
f.       Didalam kelompoknya, peserta didik akan mencoba dan menalar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan.
g.      setelah semua kelompok menyelesaikan persamaan kuadrat kemudian guru mempersilahkan perwakilan kelompoknya untuk mempresentasikan hasil dari diskusinya
h.      guru bersama peserta didik menyimpulkan hasil dari diskusi tersebut dan guru memberikan penekanan pada materi tersebut.

3.      Hipotesis Proses Pembelajaran
a.    Siswa paham tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, bisa  mengerjakan latihan soal dan siswa bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
b.    Siswa paham tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, bisa mengerjakan latihan soal, dan siswa tidak bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
c.    Siswa paham tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, tidak bisa mengerjakan latihan soal, dan siswa tidak bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
d.   Siswa paham tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, tidak bisa mengerjakan latihan soal, dan siswa bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.
e.    Siswa tidak paham tentang konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, bisa mengerjakan latihan soal, dan siswa tidak bisa mengaplikasikan konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.

B.     Konsep dan Prosedur Persamaan dan Fungsi Kuadrat
1.    PERSAMAAN KUADRAT
Definisi: persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk  dimana
Berikut ciri-ciri persamaan kuadrat :
·         Sebuah persamaan
·         Pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0
·         Koefisien variabelnya adalah bilangan real
·         Koefisien variabel berpangkat 2 tidak boleh sama dengan nol
·         Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0
a.    Menentukan akar-akar persamaan kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan:
·      Pemfaktoran, yaitu
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran;
Penyelesaian :
       = 0
       = 0
   = 0       atau     = 0
            =       atau              = 5
Jadi, HP = {3, 5}
·      Melengkapkan kuadrat, yaitu
Contoh Soal:
Selesaikan persamaan dengan melengkapkan kuadrat.
Penyelesaian:
                
            tiap ruas ditambah dengan (b)2
Jadi,      atau    
·      Rumus abc, yaitu
Contoh soal:
Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan
Penyelesaian:
Maka,
a = 1
b = – 8
c = 15
Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc
Sehingga,
       
     
       atau    
             atau    

a.    Menurut nilai diskriminannya ( D = b2- 4ac ) , akar-akar persamaan kuadrat dibagi menjadi 3 yaitu :
·       Memilik akar nyata apabila D  0
ü  Memiliki satu akar nyata apabila D = 0
ü  Memilki dua akar nyata apabila D > 0
·      Tidak memilki akar nyata apabila D < 0
·      Memiliki 2 akar rasional apabila D = k2
b.    Apabila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan D > 0, maka
Sebagai akibat dari rumus tersebut, diperoleh :
·      Jumlah akar
·      Hasil kali akar
·      Selisih akar
c.         Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrta
·         Jumlah kuadrat
·         Jumlah pangkat tiga
·         Selisih kuadrat
·         Kuadrat selisih
·         Jumlah kebalikan

2.    FUNGSI KUADRAT
Definisi: Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang pangkat tertingginya adalah dua dimana koefisien pada variabel tersebut tidak boleh sama dengan 0.
Bentuk umum:  dimana
Nilai a  untuk menentukan arah membukanya grafik yaitu :
·      a > 0, grafik terbuka ke atas sehingga mempunyai nilai minimum
·      a < 0, grafik terbukake bawah sehingga mempunyai nilai maksimum
nilai maksimum / minimum adalah  , sehingga puncaknya atau titik balik maksimum atau minimum berada pada koordinat .
Ciri – ciri fungsi kuadrat :
a.    Sebuah fungsi
b.    Memuat sebuah variabel bebas atau peubah bebas
c.    Pangkat tertinggi variabel bebasnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0
d.   Koefisien variabel bebas adalah bilangan real
e.    Koefisien variabel bebas pangkat 2 tidak sama dengan 0
f.     Koefisein variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0
Grafik fungsi kuadrat
Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi y = f(x) = ax2 + bx + c, a ≠0 adalah parabola, sedangkan y = f(x) = ax2 + bx + c disebut persamaan parabola.
Untuk melukis grafik fungsi kuadrat : y = f(x) = ax2 + bx + c
Diperlukan syarat-syarat sebagai berikut :
1.    Titik potong dengan sumbu x
Syarat f(x) = 0        ax2 + bx + c = 0
(x –x1) (x - x2 )        (x1, 0 ) (x2, 0 )
2.    Titik potong dengan sumbu y
Syarat f(x) = 0        a(0)2 + b(0) + c = 0
     f(x) = c        (0,c)
3.    Sumbu simetri
Sumbu simetrinya adalah : x =
4.    Titik balik/ titik puncak
Nilai ekstrim  : y =
Sehingga koordinat titik puncak adalah P (x,y), jadi P (
Parabola mencapai titik balik minimum jika a > 0 dan parabola mencapai titik balik maksimum jika a< 0.

3.    Aplikasi Fungsi Kuadrat
Dalam kehidupan sehari-hari persamaan dan fungsi kuadrat sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Fungsi kuadrat biasanya digunakan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu permasalahan. Biasanya kata maksimum sama maknanya dengan kata tertinggi, terpanjang, terbesar, terjauh, terluas dsb. Sedangkan kata minimum sama maknanya dengan kata terendah, terkecil, terdekat, tersempit dsb. Berikut ini diberikan contoh-contoh aplikasi yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.
Contoh:
Ada sebuah kawat ram panjang 20 m yang akan digunakan untuk membuat kandang ayam. Tentukan panjang dan lebar kandang ayam tersebut agar luasnya maksimum.
Penyelesaian :
Panjang kawat ram = keliling persegi/persegi panjang
Dimisalkan panjang kawat = x dan lebar = y
Keliling = 2(p+l)
20      = 2(p+l)
10      = x + y
y       = 10 – x
Luas (L) = p x l
  = x . y
  = x(10-x)
  = 10x – x2 
Luas merupakan fungsi kuadrat, agar luas maksimum maka :
x =   = -  = 5 meter
y = 10 – x = 10 – 5 = 5
Jadi agar kandang ayam memiliki luas maksimum maka panjang dan lebar ayam tersebut masing- masing yaitu panjan 5 meter dan lebar 5 meter, karena panjang dan lebarnya sama maka kandang ayam tersebut berbentuk persegi.

C.    Ekspresi pemahaman Persamaan dan Fungsi Kuadrat
1.    Contoh soal
tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0) serta melalui  (4,-5)
peyelesaian :
y = a(x-p) (x-q)
   = a(x-(-1) (x-5)
   = a(x+1) (x-5)
Karena melalui (4,-5) maka
-5 = a(4+1) (4-5)
-5 = -5a
  a= 1
jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x+1) (x-5)
                                               = x2 -4x-5
Penjelasan: Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis), karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis yaitu menentukan hasil dari soal diatas.  
2.    Latihan Soal
1)   Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9) serta melalui titik (-1,0)…..
Penjelasana: Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis), karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
2)   Tentukan titik puncak dari grafik f(x)= 3x2+5x+4
Penjelasana: Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis), karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
3)   Tentukan fungsi kuadrat grafiknya melalui 3 buah titik (-1,0),(2,9), dan (4,5)
Penjelasana: Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis), karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
4)   Gambarlah grafik fungsi kuadrat y= x2-4x-5
Penjelasan: dari soal diatas, termasuk jenis soal kategori C2 (memahami) karena siswa dapat menyelesaikan sebuah soal tentang cara menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menggambarkan dan menentuan tittik-titik koordinat kartesiusnya.
5)   Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 - 4x + 3 = 0
Penjelasana: Jadi, pada soal diatas termasuk jenis kategori soal tipe C4 (menganalisis), karena pada soal diatas ditunjukan untuk menentukan hasil dari soal fungsi kuadrat diatas. Karena untuk menegetahui seberapa pemahaman siswa tentang konsep fungsi kuadrat diperlukan soal yang mengarahkan siswa kepada analisis yaitu menentukan hasil dari soal diatas.
D.    Analisi Situasi Didaktis
1.    Desain Awal
Untuk kegiatan pertama, guru memberikan penjelasan mengenai konsep dan prosedur terkait definisi persamaan dan fungsi kuadrat kepada siswa terlebih dahulu, kemudian guru memberikan materi-materi dan pemahaman yang terkait dengan persamaan dan fungsi kuadrat diantaranya seperti: rumus-rumus dan sifat-sifat persamaan dan fungsi kuadrat kemudian menghubungkan dengan aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, setelah itu guru memberikan contoh soal-soal  kemudian siswa  mendiskusikan bersama teman dalam soal-soal latihan yang diberikan guru.
2.    Prediksi Implementasi
Dari desain awal kita bisa melihat bagaimana awal dan strategi pembelajaran. Jika kita melihat kepada hipotesis diatas, kita mendapatkan suatu kasus dimana seorang siswa memiliki karakter dan sifat yang berbeda-beda, ada yang paham materi dan bisa mengerjakan  latihan soal persamaan dan fungsi kuadrat, dan ada juga yang paham materi tapi tidak bisa mengerjakan soal latihan, dan ada juga siswa yang tidak paham materi dan tidak bisa mengerjakan latihan soal persamaan dan fungsi kuadrat.
Maka dengan menggunaan desain awal siswa akan lebih mudah memahami materi dan mengerjakan latihan soal persamaan dan fungsi kuadrat.


3.    Learning Obstacle
Matematika merupakan ilmu yang membutuhkan proses berfikir. Matematika terbentuk dari hasil pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran. Oleh karena itu dalam memahami konsep dibutuhkan konsep yang mendalam dan penalaran yang tinggi. Proses tersebut tentu saja tidak dilakukan dalam waktu yang singkat, sehingga dibutukan sebuah persiapan yang matang sebelum menyampaikan konsep matematika.
Pembelajaran matematika yang terjadi didalam kelas pada dasarnya merupakan rangkaian kegiatan yang dilaksanakan oleh guru sebagai pendidik dan siswa sebagai anak didik dalam kegiatan pengajaran matematika dengan menggunakan sarana dan fasilitas pendidikan yang ada guna mencapai tujuan yang telah ditetapkan dalam kurikulum.
Factor yang menjadi penyebab kesulitan belajar siswa dalam mempelajari persamaan dan fungsi kuadrat adalah karena siswa tidak memahami konsep dan prosedur persamaan dan fungsi kuadrat, Kesulitan siswa dalam menghadapi materi persamaan dan fungsi kuadrat ini adalah karena tidak kuatnya pondasi siswa dalam memahami materi persamaan dan fungsi kuadrat. Selain itu,cara siswa dalam proses pembelajaran matematika khususnya materi persamaan dan fungsi kuadrat adalah dengan cara menghafal rumus-rumus persamaan dan fungsi kuadrat. Maka dapat disimpulkan beberapa permasalahan dari pokok bahasan persamaan dan fungsi kuadrat adalah siswa tidak memahami konsep, prosedur dan pemahaman persamaan dan fungsi kuadrat.


















BAB III
PENUTUP
A.    Kesimpulan
1.      PERSAMAAN KUADRAT
Definisi: persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk  dimana
Berikut ciri-ciri persamaan kuadrat :
·         Sebuah persamaan
·         Pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0
·         Koefisien variabelnya adalah bilangan real
·         Koefisien variabel berpangkat 2 tidak boleh sama dengan nol
·         Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0
2.      Fungsi Kuadrat
Definisi: Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang pangkat tertingginya adalah dua dimana koefisien pada variabel tersebut tidak boleh sama dengan 0.
Bentuk umum:  dimana
Nilai a  untuk menentukan arah membukanya grafik yaitu :
·      a > 0, grafik terbuka ke atas sehingga mempunyai nilai minimum
·      a < 0, grafik terbukake bawah sehingga mempunyai nilai maksimum
nilai maksimum / minimum adalah  , sehingga puncaknya atau titik balik maksimum atau minimum berada pada koordinat .
Ciri – ciri fungsi kuadrat :
g.    Sebuah fungsi
h.    Memuat sebuah variabel bebas atau peubah bebas
i.      Pangkat tertinggi variabel bebasnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0
j.      Koefisien variabel bebas adalah bilangan real
k.    Koefisien variabel bebas pangkat 2 tidak sama dengan 0
l.      Koefisein variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0
B.     Saran
Untuk memahami konsep dan prosedur materi persamaan dan fungsi kuadrat, kami menyarankan kepada siswa untuk selalu memahami contoh soal dan sering berlatih mengerjakan latihan soal dan uga mengaplikasikan persamaan dan fungsi kuadrat kedalam kehidupan sehari-hari.




DAFTAR PUSTAKA
Tampomas, Husein. Seribu Pena Matematika SMU kelas .Erlangga. Jakarta. 1999
Sukino.Matematika untuk SMA/MA KELAS X. Erlangga. Jakarta. 2013